Clase #19 02/09/2022

 

Sesión #19

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Longitud de arco

En las ciencias matemáticas, la longitud de arco, también llamada rectitud de una curva, es la medida de la distancia o trayectoria recorrida a lo largo de una curva o dimensión lineal. En la historia siempre ha sido dificultoso el determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque se utilizaron diferentes métodos para ciertas curvas. El advenimiento del cálculo trajo fórmulas generales para obtener soluciones de forma cerrada para varios casos.

Cálculo mediante integrales:

Caso #1:

Si consideramos una curva definida por una función f(x), con su respectiva derivada f'(x), que son continuas en un intervalo [a,b], la longitud del arco s será delimitado tanto por a como por b, por la siguiente ecuación:

Caso #2:

Si tenemos una curva definida paramétricamente a tráves de dos funciones dependientes de t, como x=f(t) e y=g(t), la longitud del arco desde el punto (f(a),g(a)), hasta el punto (f(b),g(b)) será calculada por medio de la siguiente ecuación: 

Caso #3:

Si nuestra función se encuentra definida por las coordenadas polares, donde la coordenada radial, y el ángulo polar se relacionan por medio de  , la longitud del arco comprendido en el intervalo   toma la forma de:

En gran parte de los casos, no existe una solución cerrada disponible, por lo que es necesario utilizar los métodos de integración numerica. 

Por ejemplo, si aplicaramos esta fórmula a una circunferencia de una elipse, nos llevaria a una integral eliptica de segunda especie.

Sin embargo, existen curvas con soluciones cerradas, tales como:

-La cateneria

-El circulo

-La cicloide

-La espiral logarítmica

-La parábola

-La parábola semicúbica

-La linea recta

Un caso particular, pero más general, es el caso de las coordenadas curvilineas generales, caracterizadas por un tensor metrico donde la longitud de una curva , es dada por:

Trabajo

En primer lugar, utilizaremos la definición de trabajo propuesta por Resnick, Halliday y Krane (1993), que define el trabajo W realizado sobre una partícula como:

“El producto de la magnitud de la fuerza F y la magnitud del desplazamiento s a través del cual actúa la fuerza”

W es igual a la fuerza requerida para mover una partícula multiplicada por la distancia que recorre la partícula, en el Sistema Internacional de Unidades (SI), la fuerza se mide en Newton (N) y la distancia se mide en metros (m), ya que esta es la unidad en la que se mide el trabajo. newton-metro (N·m), la unidad newton-metro también suele llamarse joule (J).

Suponiendo que un objeto se mueve en sentido positivo a lo largo del eje de coordenadas cuando sobre él actúa una fuerza variable F(x), la cual es aplicada en el mismo sentido de movimiento, queremos definir una expresión con la que podamos calcular el trabajo realizado por la fuerza requerida para mover el objeto de x = a a x = b.

Si asumimos que el intervalo [a,b] se fragmenta en pequeños subintervalos que no varían en estilo. De esta forma, la fuerza en cada subintervalo se puede considerar como una constante y se puede utilizar la fórmula 1 para calcular el trabajo en cada subintervalo, luego se realiza la suma del trabajo realizado en cada subintervalo, obteniendo el trabajo total realizado. 

Matemáticamente podemos expresar este hecho dividiendo el intervalo [a,b] en n subintervalos insertando los puntos x1, x2 ,…, xn-1 entre a=x0 y b=xn.

Ahora bien, si se considera que cada subintervalo es muy pequeño, la fuerza en cada subintervalo se puede considerar constante y el trabajo en cada subintervalo se puede calcular mediante la fórmula 1 tomando el punto xk * en este subintervalo y considerando la fuerza como una constante f (xk*), teniendo en cuenta que la distancia corresponde al ancho de cada subintervalo x1-x0=△x, el trabajo será igual a:

Entonces, si se suma el trabajo estimado realizado en cada subintervalo, se puede estimar el trabajo total realizado por la fuerza variable.

En este punto, se toma en consideración que mientras menor sea el tamaño de los subintervalos más precisa es la aproximación, por ende, si se toma un valor de n que tienda a infinito y se asumen los subintervalos infinitamente pequeños, la aproximación del trabajo realizado en cada uno de ellos tenderá a ser exacta, es decir:

Cuando el valor n tiende al infinito el máximo valor del tamaño de los subintervalos deberá aproximarse a cero, es decir:

Por lo que podemos establecer que:

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Ejercicios trabajados en clase.

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Bibliografía

6.1 Longitud de arco. Aprende Matemáticas. Recuperado el 6 de Septiembre del 2022, de https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/6-1-longitud-de-arco/.

Gonzales, Y. APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN DEFINIDA EN EL CÁLCULO DEL TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE (PERSPECTIVA ANALÍTICA Y NUMÉRICA). Steemit. Recuperado el 6 de Septiembre del 2022, dehttps://steemit.com/stem-espanol/@ydavgonzalez/aplicacion-de-la-integracion-definida-en-el-calculo-del-trabajo-realizado-por-una-fuerza-variable-perspectiva-analitica-y.