Clase #16 19/08/2022
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Sesión #16
El concepto de integral definida surge íntimamente ligado al de área. Riemann introduce la integral definida de una función continua en un intervalo a partir del límite de una suma de áreas de rectángulos. Por ello, una de las aplicaciones más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos planos acotados y definidas por curvas o gráficas de funciones.
Sea una función real de variable real, continua y positiva en el intervalo. El problema que nos planteamos es el de hallar el área de la región que encierra la curva con el eje de abscisas y las rectas verticales y.
-Realizar un gráfico ilustrado
-Tomar un elemento dA
-Plantear el dA como área del rectángulo
-Plantear: 
-Calcular la integral definida.rE
Regla de Barrow:
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Región negativa y positiva:
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Área entre dos gráficas:
Ejercicios del tema:
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Áreas de curvas polares
Considerando una curva definida por la función r=f(θ), donde α≤θ≤β.
El primer paso es dividir el intervalo [α, β] en n subintervalos de igual ancho.
El ancho de cada subintervalo está dado por la fórmula Δθ=(β−α)/n, y el i−ésimo punto de partición θi está dado por la fórmula θi=α+iΔθ.
Cada punto de partición θ=θi define una línea con pendiente tanθi que pasa por el polo como se muestra en el siguiente gráfico.
Los segmentos de la línea están conectados por medio de arcos de radio constante.
Esto define sectores cuyas áreas son calculables por una fórmula geométrica.
El área de cada sector es utilizada entonces para aproximar el área entre los segmentos de línea sucesivos.
A continuación, sumamos las áreas de los sectores para aproximarnos al área total.
Este enfoque da una aproximación de la suma de Riemann para el área total. La fórmula del área de un sector del círculo se ilustra en la siguiente figura.
Si recordamos que el área de un círculo es A=πr2.
Al medir los ángulos en radianes, 360 grados es igual a 2π radianes. Por ende, una fracción de un círculo puede ser medida por el ángulo central θ.
La fracción del círculo está dada por θ2π, por lo que el área del sector es esta fracción multiplicada por el área total:
Ejercicios del tema:
Área y longitud de arco en coordenadas polares. Openstax. (2022). Recuperado el 29 de Agosto del 2022, de https://openstax.org/books/cálculo-volumen-3/pages/1-4-area-y-longitud-de-arco-en-coordenadas-polares#:~:text=Área%20de%20una%20región%20delimitada%20por%20una%20curva%20polar&text=A%20%3D%201%202%20∫%20α,β%20r%202%20d%20θ%20.
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