Clase #7 27/06/2022

Sesión #7

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Suma de Riemann

Es un método usado con el fin de aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

Es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación se basa en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.

La integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función.

Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que, para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Lo que buscamos es medir el área del dominio S, si es que se puede medir.

Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.

A continuación un par de ejercicios solucionados como ejemplo:

Propiedades de la integral definida

1. La primera propiedad afirma que la integral definida cambia de signo si se llegaran a cambiar los límites de integración [a,b].

2. La segunda propiedad de la integral definida afirma que en el caso de que el límite superior e inferior sean iguales, el resultado siempre será 0.

3. Si C es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La cuarta propiedad afirma que la integral definida de una suma de funciones deberá ser igual a la suma de integrales.

5. La quinta propiedad afirma que la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

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Ejercicios trabajados en clase.

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Bibliografía

De La Cruz, L. (2017). Sumas De Riemann: Definición, ejemplos y ejercicios resueltos. Ingenieria Electronica. Recuperado el 5 de Julio del 2022, de https://ingenieriaelectronica.org/sumas-riemann-definicion-ejemplos-ejercicios-resueltos/.

Sumas de Riemann | Ejercicios Detallados. RBJLabs ®. (2021). Recuperado el 5 de Julio del 2022, de https://www.rbjlabs.com/calculo/sumas-de-riemann-ejercicios-parte-1/.